Ciao,
andando in ordine:
1 giorno: avendo solo mezza giornata non so se ce la fate a vedere tutto, dipende dai vostri orari. Palazzo reale e San Carlo già portano via almeno un paio d'ore. Maschio Angioino almeno un'altra ora e mezza. La Galleria borbonica idem 1-2 ore. Se ci metti che Castel dell'Ovo è sul lungomare, un po' distante...probabilmente dovrete rinunciare a qualcosa.
2 giorno: Pompei e Ercolano meritano di essere viste entrambe. Pompei è gigantesca e porta via almeno mezza giornata e stanca parecchio, perché si cammina tanto. A Pompei merita una visita anche il santuario della Madonna di Pompei, molto amato in Campania. Ercolano è più raccolta, la visita dura meno (un 3 ore) e stanca il giusto: vicino agli scavi c'è da vedere anche il MAV, museo archeologico virtuale, e meritano tantissimo anche i dintorni. Dagli scavi a 600 metri verso destra c'è villa Campolieto, una splendida villa del Miglio d'oro, ristrutturata e visitabile (purtroppo solo dalle 10 alle 13). Verso sinistra a 800 metri c'è la reggia Borbonica di Portici, con diversi musei interessanti. A te la scelta. Sicuramente Pompei, con annessa visita del Santuario, porta via una giornata intera o quasi. Ercolano, anche visitando un po' i dintorni porta via meno tempo e puoi rientrare prima a Napoli per fare altro.
3 giorno: Capodimonte e MANN nello stesso giorno è di per sé impossibile o quasi, perché entrambi richiedono almeno un 3 ore per vedere solo le collezioni principali. Poi attualmente ospitano entrambi due mostre importantissime: Canova all'Archeologico e Caravaggio a Capodimonte. Ti direi di scegliere. Sono entrambi vicini alla Sanità, quindi dopo puoi visitare il Rione con catacombe e cimitero delle fontanelle. Santa Chiara e San Gregorio armeno mi sa anche qui che non ce la fai a vederli.
4 giorno: perfetto.
Cosa manca? Tutto il resto del centro storico, i decumani! Sono il cuore della città e di sicuro una delle cose da visitare la prima volta a Napoli. E meriterebbero un giorno a se: non solo la cappella Sansevero, ma appunto la basilica di Santa Chiara con il chiostro, la chiesa del Gesù, San Domenico Maggiore, il Duomo con la cappella del tesoro di San Gennaro, la basilica di San Paolo maggiore e la vicina San Lorenzo. Solo per citare le cose principali. Anche secondo me dovresti rinunciare a qualcos'altro ma trovare assolutamente il tempo per girare bene i decumani.